Question

已知函數(shù)f（x）=

1

(x-1)2

+aln（x-1），a為常數(shù)．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性，并寫出單調(diào)區(qū)間．
（2）當a=1時，證明：對x≥2的函數(shù)f（x）圖象不可能在直線y=x-1上方．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，再分別討論a＞0，a≤0時的情況，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）令h（x）=f（x）-（x-1），通過求導得出h（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞減，從而h（x）≤h（2）=0，進而問題得證．

解答： 解：（1）f（x）=

1

(x-1)2

+aln（x-1），（x＞1），
∴f′（x）=

2-a(1-x)2

(1-x)3

．
當a＞0時，
令f'（x）＞0得：x＞1+

2 a

，x＜1-

2 a

（舍），
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜1+

2 a

，
∴當x∈（1，1+

2 a

）時，f（x）單調(diào)遞減；
當x∈（1+

2 a

，+∞）時，f（x）單調(diào)遞增．
當a≤0時，f'（x）＜0恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）遞減，
綜上所述，當a＞0時，
f（x）在（1，1+

2 a

）遞減，在（1+

2 a

，+∞）遞增，
當a≤0時，f（x）在（1，+∞）遞減．
（2）證明：a=1時，f（x）=

1

(x-1)2

+ln（x-1），
令h（x）=f（x）-（x-1），
∴h′（x）=

2-x

x-1

-

2

(x-1)3

，
x≥2時，h′（x）＜0，
∴h（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞減，
∴h（x）≤h（2）=0．
當a=1時，對x≥2的函數(shù)f（x）圖象不可能在直線y=x-1上方．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，考查了靈活解決問題的能力．