Question

【題目】已知點(diǎn)P（2，1）與Q關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，直線PM，QM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是﹣ （Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過(guò)P作直線l交軌跡C于另一點(diǎn)A，求DPAO的面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M（x，y），…（1分） 因?yàn)辄c(diǎn)P（2，1）與Q關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，所以Q（﹣2，﹣1），
因此，直線PM，QM的斜率之積是 =﹣ ，
化簡(jiǎn)，得 =1（x≠±2），
所以點(diǎn)M的軌跡C的方程為 =1（x≠±2）．
（Ⅱ）當(dāng)直線PA的斜率不存在時(shí)，則直線PA的方程為x=2，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（2，﹣1），S△AOP= =2．
當(dāng)直線PA的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線PA的方程為y﹣1=k（x﹣2），
設(shè)設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
由直線與橢圓，消去y得（4k2+1）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0，
由已知△=16（2k+1）2＞0，所以k ，由題意，x1=2﹣ ，
則y1=﹣ +1，
|PA|= =
而原點(diǎn)O到直線l的距離為d= ，
所以S△AOP= =2|1﹣ |
因?yàn)閗 ，所以0＜|1﹣ |＜1，從而0＜S△AOP＜2綜上可知，0＜S△AOP≤2．
【解析】（Ⅰ）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，表示出直線MP、MQ的斜率，求出它們的斜率之積，利用斜率之積是﹣ ，建立方程，去掉不滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，即可得到點(diǎn)M的軌跡方程；（Ⅱ）分類(lèi)討論，設(shè)出直線方程，結(jié)合題設(shè)條件求出三角形的面積，即可得出結(jié)論．