Question

函數(shù).

（I）函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求a的值；

（II）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（III）不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

（I）（II）當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增（III）．

【解析】

試題分析：（I）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義與兩直線垂直的判定進(jìn)行求解；（II）求導(dǎo)，討論二次方程的根的個(gè)數(shù)、根的大小關(guān)系，進(jìn)而判定其單調(diào)性；（III）分離常數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的求值問題.

試題解析：（I）函數(shù)定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015070106005152785408/SYS201507010600568874573396_DA/SYS201507010600568874573396_DA.010.png">,， 1分

，由題意，解得. 4分

（II），

令，，

（i）當(dāng)時(shí)，，,，函數(shù)f(x) 在上單調(diào)遞增；

（ii）當(dāng)時(shí)，，,函數(shù)f(x) 在上單調(diào)遞增；

（iii）當(dāng)時(shí)，，

在區(qū)間上，,，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在區(qū)間上，,，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；在區(qū)間上，,，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；

（iv）當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上，，，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增. 8分

綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增. 9分

法二：（i）當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增；

，令，，

（ii）當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增；

（iii）當(dāng)時(shí)，，

在區(qū)間上，，函數(shù)f(x) 單調(diào)遞增；在區(qū)間上，，，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；在區(qū)間上，，函數(shù)f(x) 單調(diào)遞增. 8分

綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增. 9分

法三：因?yàn)閤>0，.

（i）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上函數(shù)f(x) 單調(diào)遞增；

（ii）當(dāng)時(shí)，，

在區(qū)間上，，函數(shù)f(x) 單調(diào)遞增；在區(qū)間上，，函數(shù)f(x) 單調(diào)遞減；在區(qū)間上，，函數(shù)f(x) 單調(diào)遞增. 8分

綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增. 9分

（III）不等式在區(qū)間上恒成立等價(jià)于. 10分

令，

，

在區(qū)間上，，函數(shù)g(x)為減函數(shù)；

在區(qū)間上，，函數(shù)g(x)為增函數(shù)； 12分

得，

所以實(shí)數(shù)的范圍是．

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.函數(shù)的單調(diào)性；3.不等式很犀利問題；4.分類討論思想.