已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示, 其正視圖為矩形,左視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.（1）證明：⊥平面（2）求平面與平面所成角的余弦值；

（1）通過建系證明，．得到,.故⊥平面.
（2）二面角C－NB1－C1的余弦值為．

解析試題分析：（1）證明:∵該幾何體的正視圖為矩形,左視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形,∴兩兩垂直.以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖．

則．
∴，
．∴,.
又與相交于， ∴⊥平面. ………6分
（2）∵⊥平面,∴是平面的一個(gè)法向量,  
設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則,
所以可取． 則．
∴所求二面角C－NB1－C1的余弦值為．  12分
考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系，角的計(jì)算。
點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離的計(jì)算。證明過程中，往往需要將立體幾何問題轉(zhuǎn)化成平面幾何問題加以解答。本題解答，通過建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，簡(jiǎn)化了繁瑣的證明過程，實(shí)現(xiàn)了“以算代證”，對(duì)計(jì)算能力要求較高。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)．

(1)求證：A1B∥平面ADC1；
(2)若AB＝BB1＝2，求A1D與平面AC1D所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC為等腰直角三角形，∠B = 900，D為棱BB1上一點(diǎn)，且面DA1 C⊥面AA1C1C.求證：D為棱BB1中點(diǎn)；（2）為何值時(shí)，二面角A －A1D － C的平面角為600.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD中，為正三角形，，，AC與BD交于O點(diǎn)．將沿邊AC折起，使D點(diǎn)至P點(diǎn)，已知PO與平面ABCD所成的角為，且P點(diǎn)在平面ABCD內(nèi)的射影落在內(nèi)．

（Ⅰ）求證：平面PBD；
（Ⅱ）若時(shí)，求二面角的余弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，矩形中，，，平面，，，為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面．
（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐D－ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在棱AC上，且AF＝3FC．

（1）求證AC⊥平面DEF；
（2）若M為BD的中點(diǎn)，問AC上是否存在一點(diǎn)N，使MN∥平面DEF？若存在，說明點(diǎn)N的位置；若不存在，試說明理由．
（3）求平面ABD與平面DEF所成銳二面角的余弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(本小題滿分14分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PA的長(zhǎng)為2，且PA與AB、AD的夾角都等于600，是PC的中點(diǎn)，設(shè)．
（1）試用表示出向量；
（2）求的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：單選題

平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝2x＋1關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的直線方程是(　　)

A．y＝2x－1B．y＝－2x＋1
C．y＝－2x＋3D．y＝2x－3

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同步練習(xí)冊(cè)答案