如圖,四邊形ABCD中,為正三角形,,,AC與BD交于O點(diǎn).將沿邊AC折起,使D點(diǎn)至P點(diǎn),已知PO與平面ABCD所成的角為,且P點(diǎn)在平面ABCD內(nèi)的射影落在內(nèi).
(Ⅰ)求證:平面PBD;
(Ⅱ)若時,求二面角的余弦值。
(1)取BD中點(diǎn)Q,證得Q與O重合。則面PBD
(2)
解析試題分析:(1)取BD中點(diǎn)Q,則三點(diǎn)共線,即Q與O重合。
則面PBD
(2)因?yàn)锳C面PBD,而面ABCD,所以面ABCD面PBD,則P點(diǎn)在面ABCD上的射影點(diǎn)在交線BD上(即在射線OD上),所以PO與平面ABCD所成的角。以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA為軸,OB為軸建空間直角坐標(biāo)系。,因?yàn)锳C面PBD,所以面PBD的法向量,設(shè)面PAB的法向量,又,由,得①,又,由,得
②, 在①②中令,可得,則
所以二面角的余弦值
考點(diǎn):本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系,角的計算,空間向量的應(yīng)用。
點(diǎn)評:典型題,立體幾何題,是高考必考內(nèi)容,往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計算。在計算問題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計算”的步驟,將立體問題轉(zhuǎn)化成平面問題,是解決立體幾何問題的一個基本思路。通過就落實(shí)黨的坐標(biāo)系,利用空間向量,免去了繁瑣的邏輯推理過程,對計算能力要求較高。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,已知PB⊥底面ABCD,BC⊥AB,AD∥BC,AB=AD=2,CD⊥PD,異面直線PA和CD所成角等于60°.
(1)求證:面PCD⊥面PBD;
(2)求直線PC和平面PAD所成角的正弦值的大;
(3)在棱PA上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角A-BE-D的余弦值為?若存在,指出點(diǎn)E在棱PA上的位置,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,底面,底面為正方形,,分別是的中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)在平面內(nèi)求一點(diǎn),使平面,并證明你的結(jié)論;
(3)求與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,側(cè)棱AA1⊥面ABC,D、E分別是棱A1B1、AA1的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱AB上,且.
(Ⅰ)求證:EF∥平面BDC1;
(Ⅱ)求二面角E-BC1-D的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知:四棱錐P—ABCD的底面為直角梯形,且AB∥CD,∠DAB=90o,DC=2AD=2AB,側(cè)面PAD與底面垂直,PA=PD,點(diǎn)M為側(cè)棱PC上一點(diǎn).
(1)若PA=AD,求PB與平面PAD的所成角大;
(2)問多大時,AM⊥平面PDB可能成立?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,四棱錐中,是正三角形,四邊形是矩形,且平面平面,,.
(Ⅰ) 若點(diǎn)是的中點(diǎn),求證:平面;
(II)若點(diǎn)為線段的中點(diǎn),求二面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示, 其正視圖為矩形,左視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.(1)證明:⊥平面(2)求平面與平面所成角的余弦值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知棱長為1的正方體AC1,E、F分別是B1C1、C1D的中點(diǎn).
(1)求證:E、F、D、B共面;
(2)求點(diǎn)A1到平面的BDEF的距離;
(3)求直線A1D與平面BDEF所成的角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題
已知點(diǎn)P(3,2)與點(diǎn)Q(1,4)關(guān)于直線l對稱,則直線l的方程為( )
A.x-y=0 | B.x-y+1=0 |
C.x+y+1=0 | D.x+y=0 |
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