Question

三對夫婦排成一排照相，則每對夫婦互不相鄰的排法有（　　）

• A、80種
• B、160種
• C、240種
• D、320種

Answer 1

考點：計數(shù)原理的應(yīng)用

專題：排列組合

分析：第一類：均不相鄰的插入，第二類：第一次插入不相鄰，第二相鄰插入，第三次插入相鄰的夫妻之間，第三類：第一次插入相鄰，第二次兩個同時插入相鄰的夫妻之間，第四類：第一次插入相鄰，第二次兩個之一插入相鄰的夫妻之間，根據(jù)分類計數(shù)原理可得答案．

解答： 解：解法一（直接法）：三對夫妻排成一排，丈夫不與自己的妻子相鄰的排法，分為如下四類：
第一類：均不相鄰的插入
①先讓三個女士站，有6種站法；
②插入丈夫甲不在自己妻子的兩側(cè)，有2種插法；
③插入丈夫乙不在自己妻子的兩側(cè)，有3種插法；
④插入丈夫丙不在自己妻子的兩側(cè)，有4種插法．
∴共有6×2×3×4=144種站法．
第二類：第一次插入不相鄰，第二相鄰插入，第三次插入相鄰的夫妻之間
①先讓三個女士站，有6種站法；
②插入丈夫甲不在自己妻子的兩側(cè)，有2種插法；
③插入丈夫乙在自己妻子的兩側(cè)，有2種插法；
④插入丈夫丙在乙夫妻之間，有1種插法．
∴共有6×2×2×1=24種站法．
第三類：第一次插入相鄰，第二次兩個同時插入相鄰的夫妻之間
①先讓三個女士站，有6種站法；
②插入丈夫甲在自己妻子的兩側(cè)，有2種插法；
③插入丈夫乙丙在甲夫妻之間，有2種插法；
∴共有6×2×2=24種站法．
第四類：第一次插入相鄰，第二次兩個之一插入相鄰的夫妻之間
①先讓三個女士站，有6種站法；
②插入丈夫甲在自己妻子的兩側(cè)，有2種插法；
③插入丈夫乙丙中的一人在甲夫妻之間，有2種插法；
④插入丈夫乙丙的另一人不在自己妻子的兩側(cè)，也不在甲夫妻之間，有2種插法．
∴共有6×2×2×2=48種站法．
綜上，三對夫妻排成一排，丈夫不與自己的妻子相鄰的排法共有144+24+24+48=240種
解法二：（剔除法）三對夫妻排成一排，丈夫不與自己的妻子相鄰的排法，先計算無條件的所有站法6！=720．再去掉不符合條件的如下三類：
第一類：恰三對夫妻都相鄰
①捆綁甲夫妻，有2種方法；
②捆綁乙夫妻，有2種方法；
③捆綁丙夫妻，有2種方法；
④三對夫妻排序，有3！=6種插法．
∴共有2×2×2×6=48種站法．
第二類：恰有兩對夫妻各自相鄰
①先確定哪兩對夫妻相鄰，有3種方法；
②將這兩對夫妻分別捆綁并排序，有2×2×2=8種方法；
③將另一對夫妻兩個分別插入到上面的排序間隔或兩端，有3×2=6種插法；
∴共有3×8×6=144種站法．
第三類：恰有一對夫妻相鄰
　情況（1）
①先確定哪一對夫妻相鄰（叫第一對），并捆綁，有3×2=6種方法；　
②將上面的“梱”與另兩對夫妻的2個丈夫進行排序，有3！=6種排法；
③插入一個妻子在自己丈夫的兩邊（叫第二對），最后一個妻子放到第二對夫妻之間，有2×1=2種插法；
∴共有6×6×2=72種站法．
　情況（2）
①先確定哪一對夫妻相鄰，并捆綁，有3×2=6種方法；
②將上面的“梱”與另兩對夫妻的2個丈夫進行排序，有3！=6種排法；
③插入一個妻子不在自己丈夫的兩邊，有2種插法；
④插入最后一個妻子不在自己丈夫的兩邊，有3種插法；．
∴共有6×6×2×3=216種站法．
∴第三類僅有一對夫妻相鄰的有72+216=288種站法．
∴不符合條件三類有48+144+288=380種站法．
綜上，三對夫妻排成一排，丈夫不與自己的妻子相鄰的排法共有720-380=240種．
解法三：用分步法
　為便于敘述，設(shè)三對夫妻為 甲乙丙組．
①首先選擇排序第一位的人，有6種選擇．以下敘述中以這個人是甲組人為例．
②其次選擇排序第二位的人，有4種選擇．即除甲組人外，其它4個人都可以．以下敘述中以這個人是乙組為例．
③再其次，選擇排序第三位的人，該人不可以是乙組人．那么有以下A、B 兩種可能性：
可能性 A）：該人為甲組人．那么有1種選擇．
接著選擇排序第四位的人．因為前三位是 甲乙甲，所以，第四位必須是丙組人．否則就會出現(xiàn)丙組夫妻相鄰的局面．這樣排序第四位的人，有2種選擇．
接著排序第五位的人必須是乙組人，有1種選擇．
排序第六位的人是余下的丙組人，有1種選擇．
可能性 B）：排序第三位的是丙組人．那么有2種選擇．至此，前三位分別是甲、乙、丙．
接著選擇排序第四位的人．可以是甲組或者乙組余留下的人，有2種選擇．以這個人是甲組人為例．
接著排序第五位的人，可以選擇乙組、丙組中余下的人，有2種選擇．
排序第六位的人只有1種選擇．
綜上所述，排法總數(shù)有
　　　N=6×4×（1×2×1×1+2×2×2×1）═6×4×（2+8）=6×4×10=240種．
故排法共有144+24+24+48=240種，
故選：C

點評：本題主要考查分類計數(shù)原理，不相鄰的問題采用插空和間接法，分類時要不重不漏，屬于中檔題．