Question

假設(shè)數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均不相等，將數(shù)列從小到大重新排序后相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成的新數(shù)列成為數(shù)列{a_n}的排序數(shù)列，例如：數(shù)列a₂＜a₃＜a₁，滿足則排序數(shù)列為2，3，1．
（1）寫(xiě)出2，4，3，1的排序數(shù)列；
（2）求證：數(shù)列{a_n}的排序數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{a_n}為單調(diào)數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)排序數(shù)列的定義，即可寫(xiě)出2，4，3，1的排序數(shù)列；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義以及充要條件的定義即可證明數(shù)列{a_n}的排序數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{a_n}為單調(diào)數(shù)列．

解答： 解：（Ⅰ）排序數(shù)列為4，1，3，2．
（Ⅱ）證明：充分性：D
當(dāng)數(shù)列{a_n}單調(diào)增時(shí)，∵a₁＜a₂＜…＜a_n，
∴排序數(shù)列為1，2，3，…，n．
∴排序數(shù)列為等差數(shù)列．
當(dāng)數(shù)列{a_n}單調(diào)減時(shí)，∵a_n＜a_n-1＜…＜a₁，
∴排序數(shù)列為n，n-1，n-2，…，1．
∴排序數(shù)列為等差數(shù)列．
綜上，數(shù)列{a_n}為單調(diào)數(shù)列時(shí)，排序數(shù)列為等差數(shù)列．
必要性：
∵排序數(shù)列為等差數(shù)列
∴排序數(shù)列為1，2，3，…，n或n，n-1，n-2，…，1．
∴a₁＜a₂＜…＜a_n或a_n＜a_n-1＜…＜a₁，
∴數(shù)列{a_n}為單調(diào)數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列充要條件的判斷，考查學(xué)生的推理能力．