Question

1．如圖所示的五面體ABCDFE中，四邊形ABCD是矩形，AB∥EF，AD⊥平面ABEF，且AD=1，AB=$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{2}$，AF=BE=2，P、Q分別為AE、BD的中點．
（Ⅰ） 求證：PQ∥平面BCE；
（Ⅱ） 求二面角A-DF-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC，推導出PQ∥EC，由此能證明PQ∥平面BCE．
（Ⅱ）取EF的中點M，則AF⊥AM，以A為坐標原點，以AM，AF，AD所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-DF-E的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）連接AC，∵四邊形ABCD是矩形，且Q為BD的中點，
∴Q為AC的中點，
又在△AEC中，P為AE的中點，∴PQ∥EC，
∵EC?面BCE，PQ?面BCE，
∴PQ∥平面BCE…（5分）
解：（Ⅱ）如圖，取EF的中點M，則AF⊥AM，
以A為坐標原點，以AM，AF，AD所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
則A（0，0，0），D（0，0，1），M（2，0，0），F（0，2，0）．
$\overrightarrow{AM}$=（2，0，0），$\overrightarrow{MF}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{DF}$=（0，2，-1）…（7分）
設平面DEF的法向量為n=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MF}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=2y-z=0}\end{array}\right.$，令x=1，則y=1，z=2，故$\overrightarrow{n}$=（1，1，2）是平面DEF的一個法向量…（9分）
∵AM⊥面ADF，∴$\overrightarrow{AM}$=（2，0，0）為平面ADF的一個法向量．
∴cos＜n，$\overrightarrow{AM}$＞=$\frac{n•\overrightarrow{AM}}{|n|•|\overrightarrow{AM}|}$=$\frac{2×1+0×1+0×2}{\sqrt{6}×2}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．…（11分）
由圖可知所求二面角為銳角，
∴二面角A-DF-E的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．