11.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知∠BAC=90°,AB=AC=1,BB1=2,∠ABB1=60°.
(1)證明:AB⊥B1C;
(2)若B1C=2,求三棱錐B1-CC1A的體積.

分析 (1)通過證明AB⊥平面AB1C,來證明:AB⊥B1C;
(2)利用等體積轉(zhuǎn)化求三棱錐B1-CC1A的體積.

解答 (1)證明:在△ABB1中,∵$AB_1^2=A{B^2}+BB_1^2-2AB•B{B_1}•cos∠AB{B_1}=3$
∴$A{B_1}=\sqrt{3}$.
又AB=1,BB1=2,∴由勾股定理的逆定理,得△ABB1為直角三角形.
∴B1A⊥AB.
又CA⊥AB,CA∩B1A=A,
∴AB⊥平面AB1C.
∵B1C?平面AB1C
∴AB⊥B1C
(2)解:由題意,${V_{{B_1}-C{C_1}A}}={V_{B-C{C_1}A}}={V_{{C_1}-ABC}}={V_{{B_1}-ABC}}$.
在△AB1C中,∵${B_1}C=2,A{B_1}=\sqrt{3},AC=1$,
則由勾股定理的逆定理,得△AB1C為直角三角形,∴B1A⊥AC.
又B1A⊥AB,AB∩AC=A,∴B1A⊥平面ABC.
∴B1A為三棱錐B1-ABC的高.
∴${V_{{B_1}-C{C_1}A}}={V_{{B_1}-ABC}}=\frac{1}{3}•{S_{△ABC}}•{B_1}A=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$

點評 本題考查了線面垂直的性質(zhì)與判定,棱錐的體積計算,屬于中檔題.

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