Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1+

1

3

）（1+

1

5

）…（1+

1

2n-1

）＞

2n+1

2

（n≥2）

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明不等式，（1）驗證n=2時不等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時成立，利用放縮法證明n=k+1時，不等式也成立．

解答： 證明：（1）當(dāng)n=2時，左邊=1+

1

3

=

4

3

＞

5

2

，∴n=2時成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時成立，即：（1+

1

3

）（1+

1

5

）…（1+

1

2k-1

）＞

2k+1

2

那么當(dāng)n=k+1時，左邊=（1+

1

3

）（1+

1

5

）…（1+

1

2k-1

）（1+

1

2k+1

）＞

2k+1

2

•（1+

1

2k+1

）=

2k+2

2 2k+1

，
∵

(2k+1)(2k+3)

＜2k+2，
∴

2k+2

2 2k+1

＞

2k+3

2

，
∴n=k+1時也成立
根據(jù)（1）（2）可得不等式對所有的n≥2都成立．

點評：本題是中檔題，考查數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，注意不等式的證明方法，放縮法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．