Question

17．方程$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{2011}$的整數(shù)解的個數(shù)是5個．

Answer 1

分析 由題意可得2011|x 或 2011|y；從而不妨設(shè)2011|x；故x=2011n；從而可得n=2或 n=2012或n=-2010或n=0（舍去）；從而代入解得．

解答 解：∵$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{2011}$，
∴2011（x+y）=xy；
∵2011為質(zhì)數(shù)，
∴2011|x 或 2011|y；
由對稱性，不妨設(shè)2011|x；
x=2011n；
2011n+y=ny；
y=2011•$\frac{n}{n-1}$；
∵n-1與n互質(zhì)，
∴n-1=±1 或n-1=±2011；
n=2或 n=2012或n=-2010或n=0（舍去）；
①當(dāng)n=2時，x=2011×2=4022，y=2011×2=4022；
②當(dāng)n=2012時，x=2011×2012=4046132，y=2012；
由于對稱性，還有一組：x=2012，y=4046132；
③當(dāng)n=-2010時，x=-2011×2010=-4042110，y=2010；
由于對稱性，還有一組：x=2010，y=-4042110；
共5組解．
故答案為：5．

點評 本題考查了分式方程與整除的應(yīng)用，屬于中檔題．