Question

6．已知等式：sin²5°+cos²35°+sin5°cos35°=$\frac{3}{4}$； sin²15°+cos²45°+sin15°cos45°=$\frac{3}{4}$；
sin²30°+cos²60°+sin30°cos60°=$\frac{3}{4}$；由此可歸納出對(duì)任意角度θ都成立的一個(gè)等式，并予以證明．

Answer 1

分析 根據(jù)所給的等式歸納：等式左邊余弦均為正弦度數(shù)加30°，右邊是常數(shù)，按照此規(guī)律寫(xiě)出一般性的結(jié)論，利用兩角和的余弦公式等進(jìn)行證明等式成立．

解答 解：根據(jù)各式的共同特點(diǎn)可得：等式左邊余弦均為正弦度數(shù)加30°，右邊是常數(shù)$\frac{3}{4}$，
則具有一般規(guī)律的等式：sin²θ+cos²（θ+30°）+sinθcos（θ+30°）=$\frac{3}{4}$，
證明：等式的左邊=sin²θ+cos（θ+30°）[cos（θ+30°）+sinθ]
=sin²θ+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$sinθ）（$\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ-\frac{1}{2}sinθ$+sinθ）
=sin²θ+（$\frac{3}{4}co{s}^{2}θ-\frac{1}{4}si{n}^{2}θ$）
=$\frac{3}{4}co{s}^{2}θ+\frac{3}{4}si{n}^{2}θ$=$\frac{3}{4}$=右邊，
∴等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了歸納推理，兩角和的余弦公式等，歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．