Question

6．已知f（x）=x${\;}^{{m}^{2}-2m-3}$（m∈Z）的圖象關(guān)于y軸對稱，且在（-∞，0）為增函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷g（x）=a$\sqrt{f（x）}$-$\frac{xf（x）}$的奇偶性；解不等式f（2x-1）＜f（1+x）．

Answer 1

分析 （1）由冪函數(shù)f（x）為（-∞，0）為增函數(shù)，推知m²-2m-3＜0，解得-1＜m＜3因為m為整數(shù)故m=0，1或2，又通過函數(shù)為偶函數(shù)，推知m²-2m-3為偶數(shù)，進(jìn)而推知m²-2m為奇數(shù)，進(jìn)而推知m只能是1，把m代入函數(shù)，即可得到f（x）的解析式．
（2）分類討論，即可判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，由f（2x-1）＜f（1+x），得到$\left\{\begin{array}{l}{2x-1＜1+x}\\{1+x＜0}\\{2x-1＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2x-1＞1+x}\\{1+x＞0}\\{2x-1＞0}\end{array}\right.$，解得即可．

解答 解：（1）∵冪函數(shù)f（x）=x^m2-2m-3（m∈Z）圖象關(guān)于y軸對稱，且在（-∞，0）為增函數(shù)，
∴m²-2m-3＜0，解得-1＜m＜3，
∵m為整數(shù)，
∴m=0，1或2，
又∵函數(shù)為偶函數(shù)，
∴m²-2m-3為偶數(shù)，
∴m²-2m為奇數(shù)，
∴m只能是1，
把m=1代入函數(shù)f（x）=x^m2-2m-3，
得f（x）=x^-4．
（2）g（x）=a$\sqrt{f（x）}$-$\frac{xf（x）}$=ax^-2-bx³，
當(dāng)a=0，b≠0時，（x）=-bx³，此時g（x）為奇函數(shù)，
當(dāng)b=0，a≠0，g（x）=ax^-2此時g（x）為偶函數(shù)，
當(dāng)a≠0，b≠0時，g（x）為非奇非偶函數(shù)，
當(dāng)a=0且b=0時，g（x）即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，
∵f（2x-1）＜f（1+x），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-1＜1+x}\\{1+x＜0}\\{2x-1＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2x-1＞1+x}\\{1+x＞0}\\{2x-1＞0}\end{array}\right.$，
解得x＜-1或x＞2，
故不等式f（2x-1）＜f（1+x）的解集為（-∞，-1）∪（2，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，奇偶性的判斷，不等式的解法，題時要注意冪函數(shù)的性質(zhì)的合理運用．是中檔題．