分析 (1)由冪函數(shù)f(x)為(-∞,0)為增函數(shù),推知m2-2m-3<0,解得-1<m<3因?yàn)閙為整數(shù)故m=0,1或2,又通過(guò)函數(shù)為偶函數(shù),推知m2-2m-3為偶數(shù),進(jìn)而推知m2-2m為奇數(shù),進(jìn)而推知m只能是1,把m代入函數(shù),即可得到f(x)的解析式.
(2)分類(lèi)討論,即可判斷函數(shù)g(x)的奇偶性,由f(2x-1)<f(1+x),得到$\left\{\begin{array}{l}{2x-1<1+x}\\{1+x<0}\\{2x-1<0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2x-1>1+x}\\{1+x>0}\\{2x-1>0}\end{array}\right.$,解得即可.
解答 解:(1)∵冪函數(shù)f(x)=xm2-2m-3(m∈Z)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),且在(-∞,0)為增函數(shù),
∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3,
∵m為整數(shù),
∴m=0,1或2,
又∵函數(shù)為偶函數(shù),
∴m2-2m-3為偶數(shù),
∴m2-2m為奇數(shù),
∴m只能是1,
把m=1代入函數(shù)f(x)=xm2-2m-3,
得f(x)=x-4.
(2)g(x)=a$\sqrt{f(x)}$-$\frac{xf(x)}$=ax-2-bx3,
當(dāng)a=0,b≠0時(shí),(x)=-bx3,此時(shí)g(x)為奇函數(shù),
當(dāng)b=0,a≠0,g(x)=ax-2此時(shí)g(x)為偶函數(shù),
當(dāng)a≠0,b≠0時(shí),g(x)為非奇非偶函數(shù),
當(dāng)a=0且b=0時(shí),g(x)即是奇函數(shù)又是偶函數(shù),
∵f(2x-1)<f(1+x),
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-1<1+x}\\{1+x<0}\\{2x-1<0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2x-1>1+x}\\{1+x>0}\\{2x-1>0}\end{array}\right.$,
解得x<-1或x>2,
故不等式f(2x-1)<f(1+x)的解集為(-∞,-1)∪(2,+∞).
點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求法,奇偶性的判斷,不等式的解法,題時(shí)要注意冪函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用.是中檔題.
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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A. | x=1 | B. | x=2 | C. | x=-1或x=1 | D. | x=-2或x=2 |
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年齡段 | 16周歲以下 | 17至59周歲(勞動(dòng)年齡) | 60周歲及以上 |
68% | 16% |
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