Question

6．已知四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是線段AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，圓O為四邊形EFGH的內(nèi)切圓，則在正方形ABCD內(nèi)投一點(diǎn)，該點(diǎn)落在圓O內(nèi)的概率為$\frac{π}{8}$．

Answer 1

分析 由題意ABCD是正方形，設(shè)其邊長(zhǎng)為a，則${S}_{正方形ABCD}={a}^{2}$，推導(dǎo)出EFGH是邊長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，從而圓O的半徑r=$\frac{\sqrt{2}}{4}a$，在正方形ABCD內(nèi)投一點(diǎn)，由幾何概型得該點(diǎn)落在圓O內(nèi)的概率p=$\frac{{S}_{圓O}}{{S}_{正方形ABCD}}$，由此能求結(jié)果．

解答 解：由題意ABCD是正方形，設(shè)其邊長(zhǎng)為a，則${S}_{正方形ABCD}={a}^{2}$，
∵E，F(xiàn)，G，H分別是線段AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，圓O為四邊形EFGH的內(nèi)切圓，
∴EFGH是邊長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，∴圓O的半徑r=$\frac{\sqrt{2}}{4}a$，
∴S_圓O=$π{r}^{2}=π×\frac{2}{16}{a}^{2}=\frac{π{a}^{2}}{8}$，
∴在正方形ABCD內(nèi)投一點(diǎn)，該點(diǎn)落在圓O內(nèi)的概率：
p=$\frac{{S}_{圓O}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{\frac{π{a}^{2}}{8}}{{a}^{2}}$=$\frac{π}{8}$．
故答案為：$\frac{π}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，涉及到正方形內(nèi)切圓、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．