Question

8．等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{n}{2}$（3n+5），正項(xiàng)等比數(shù)列{b_n}中，b₂=4，b₁b₇=256．
（Ⅰ）求{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_nb_n，求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S_n=$\frac{n}{2}$（3n+5）可知，n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3n+1，驗(yàn)證n=1時(shí)的情況即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；在正項(xiàng)等比數(shù)列{b_n}中，由b₂=4，b₁b₇=${_{4}}^{2}$=256，可求得其公比q=2，從而可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；求{a_n}與{b_n的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由c_n=a_nb_n=（3n+1）2ⁿ，可知T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=4×2+（3×2+1）×2²+…+（3n+1）2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=$\frac{n}{2}$（3n+5），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n}{2}$（3n+5）-$\frac{（n-1）[3（n-1）+5]}{2}$=3n+1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{1}{2}$（3×1+5）=4也適合上式，
∴a_n=3n+1．
在正項(xiàng)等比數(shù)列{b_n}中，b₂=4，b₁b₇=${_{4}}^{2}$=256，
∴b₄=16，
∴其公比q²=$\frac{_{4}}{_{2}}$=4，又q＞0，
∴q=2，
∴b_n=b₂q^n-2-2=4×2^n-2=2ⁿ．
（Ⅱ）∵c_n=a_nb_n=（3n+1）2ⁿ，
∴T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=4×2+（3×2+1）×2²+…+（3n+1）2ⁿ，①
2T_n=4×2²+（3×2+1）×2³+…+[3（n-1）+1）]2ⁿ+（3n+1）2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-T_n=4×2+3×2²+…+3×2ⁿ-（3n+1）2ⁿ⁺¹
=3（2+2²+…+2ⁿ）+2-（3n+1）2ⁿ⁺¹
=3×$\frac{2（1{-2}^{n}）}{1-2}$+2-（3n+1）2ⁿ⁺¹
=（3-3n-1）2ⁿ⁺¹-4．
∴T_n=（3n-2）2ⁿ⁺¹+4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，著重考查遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查求等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題．