Question

6．已知等腰△ABC滿足AB=AC，$\sqrt{3}$BC=2AB，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)且AD=BD，則sin∠ADB的值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{6}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)AB=AC=a、AD=BD=b，在△ABC中由余弦定理求出cos∠ABC、sin∠ABC，在△ABD中由余弦定理表示出AD，由正弦定理求出sin∠ADB的值．

解答 解：如圖：設(shè)AB=AC=a，AD=BD=b，
由$\sqrt{3}$BC=2AB得，BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}a$，
在△ABC中，由余弦定理得，
cos∠ABC=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2•AB•BC}$=$\frac{{a}^{2}+{（\frac{2\sqrt{3}a}{3}）}^{2}-{a}^{2}}{2×a×\frac{2\sqrt{3}}{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵AB=AC，∴∠ABC是銳角，
則sin∠ABC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠ABC}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
在△ABD中，由余弦定理得AD²=AB²+BD²-2•AB•BD•cos∠ABD，
∴$^{2}={a}^{2}+^{2}-2•a•b•\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$b，
由正弦定理得，$\frac{AD}{sin∠ABD}=\frac{AB}{sin∠ADB}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}=\frac{a}{sin∠ADB}$，解得sin∠ADB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，以及方程思想，考查化簡(jiǎn)、計(jì)算能力，屬于中檔題．