Question

11．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，在第一象限橢圓上的一點M滿足MF₂⊥F₁F₂，且|MF₁|=3|MF₂|．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設MF₁與y軸的交點為N，過點N與直線MF₁垂直的直線交橢圓于A，B兩點，若$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{{F_1}A}$•$\overrightarrow{{F_1}B}$=$\frac{54}{17}$，求橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的定義和直角三角形的勾股定理，結(jié)合橢圓的離心率計算即可得到所求值；
（2）由橢圓的離心率和a，b，c的關系，可得橢圓的方程x²+2y²-2c²=0，求得直線AB的方程，代入橢圓方程，運用韋達定理，再由向量的數(shù)量積的坐標表示，解方程可得c，進而得到a，b的值，即可得到所求橢圓方程．

解答 解：（1）由橢圓定義可得|MF₁|+|MF₂|=2a，
∵|MF₁|=3|MF₂|，∴4|MF₂|=2a，
∴$16|M{F_2}{|^2}=4{a^2}$，
在直角△MF₂F₁中，$|M{F_1}{|^2}-|M{F_2}{|^2}=4{c^2}$，即$8|M{F_2}{|^2}=4{c^2}$，
∴$\frac{{4{c^2}}}{{4{a^2}}}=\frac{1}{2}$，即$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
（2）∵$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$a=\sqrt{2}c，\;b=c$，
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{{2{c^2}}}+\frac{y^2}{c^2}=1$，
即x²+2y²-2c²=0，
易知點M的坐標為$（{c，\;\frac{{\sqrt{2}}}{2}c}）$，
∵點N是線段MF₂的中點，∴點N的坐標為$（{0，\;\frac{{\sqrt{2}}}{4}c}）$，
∵直線MF₁的斜率為$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，∴直線AB的斜率為$-2\sqrt{2}$，
∴直線AB的方程為$y=-2\sqrt{2}x+\frac{{\sqrt{2}}}{4}c$，
與橢圓方程聯(lián)立消去y得$17{x^2}-4cx-\frac{7}{4}{c^2}=0$，
設點A的坐標為（x₁，y₁），點B的坐標為（x₂，y₂），∴${x_1}{x_2}=-\frac{{7{c^2}}}{4×17}$，
∵AB垂直平分線段MF₁，∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{{F_1}A}•\overrightarrow{{F_1}B}=\frac{27}{17}$，
∴$（{{x_1}-c，\;{y_1}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}c}）•（{{x_2}-c，\;{y_2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}c}）=\frac{27}{17}$，
∴$（{{x_1}-c，\;-2\sqrt{2}{x_1}-\frac{{\sqrt{2}}}{4}c}）•（{{x_2}-c，\;-2\sqrt{2}{x_2}-\frac{{\sqrt{2}}}{4}c}）=\frac{27}{17}$，
∴$（{{x_1}-c}）（{{x_2}-c}）+（{-2\sqrt{2}{x_1}-\frac{{\sqrt{2}}}{4}c}）（{-2\sqrt{2}{x_2}-\frac{{\sqrt{2}}}{4}c}）=\frac{27}{17}$，
化簡得${x_1}{x_2}+\frac{1}{8}{c^2}=\frac{3}{17}$，即$-\frac{{7{c^2}}}{4×17}+\frac{1}{8}{c^2}=\frac{3}{17}$，即為c²=8，
可得a²=2c²=16，b²=c²=8，
則橢圓的方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用橢圓的定義和勾股定理，考查橢圓方程的求法，注意運用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，同時考查向量數(shù)量積的坐標表示，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．