Question

18．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過點(diǎn)F₁作垂直于x軸的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，若|MN|=3，且橢圓C上的離心率為$\frac{1}{2}$．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線AB的方程為3x+ty-3=0，且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，證明：$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{2}|}$是定值．

Answer 1

分析 （I）由橢圓的通徑公式，求得2b²=3a，根據(jù)離心率公式求得4b²=3a²，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）分類，當(dāng)t=0，求得丨AF₁丨及丨BF₂丨，即可求得$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{2}|}$的值，當(dāng)t≠0，轉(zhuǎn)化成y=k（x-1），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{2}|}$的值．

解答 解：（I）由題意可知：橢圓的通徑丨MN丨=$\frac{2^{2}}{a}$=3，則2b²=3a，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，則$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，則4b²=3a²，
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的C的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）證明：由（I）可知拋物線的焦點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
直線AB的方程為3x+ty-3=0，
當(dāng)t=0，則直線l的方程為：x=1，過橢圓的右焦點(diǎn)，
則丨AF₁丨=$\frac{3}{2}$，丨BF₂丨=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{2}|}$=$\frac{4}{3}$，
當(dāng)t≠0，由直線3x+ty-3=0，則直線方程轉(zhuǎn)化成y=k（x-1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入橢圓方程：$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{2}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}丨{x}_{1}-1丨}$+$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}丨{x}_{2}-1丨}$，
=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$•$\frac{丨{x}_{1}+1丨+丨{x}_{2}-1丨}{丨{x}_{1}{x}_{2}-{（x}_{1}+{x}_{2}）+1丨}$，
由x1，x2必有一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，
∴原式=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$•$\frac{\sqrt{\frac{144（{k}^{2}+1）}{（4{k}^{2}+3）^{2}}}}{丨\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}-\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}+1丨}$，
=$\frac{12}{9}$=$\frac{4}{3}$，
綜上可知：$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{2}|}$是定值$\frac{4}{3}$，．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，點(diǎn)到直線的距離公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．