Question

8．已知拋物線y²=2px（p＞0）與雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的交點(diǎn)為A，B，且直線AB，過兩曲線的公共焦點(diǎn)F，則雙曲線的離心率為e（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$+2

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線與雙曲線的焦點(diǎn)相同，可得$\frac{p}{2}=c$，經(jīng)過利用直線AB，過兩曲線的公共焦點(diǎn)建立方程關(guān)系即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：∵拋物線y²=2px（p＞0）和雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$有共同的焦點(diǎn)，
∴$\frac{p}{2}=c$，
∵直線AB過兩曲線的公共焦點(diǎn)F，
∴$（\frac{p}{2}，p）$，即（c，2c）為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$上的一個(gè)點(diǎn)，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{4c}^{2}}{^{2}}=1$，
∴（c²-a²）c²-4a²c²=a²（c²-a²），
∴e⁴-6e²+1=0，
∴${e}^{2}=3±2\sqrt{2}$，
∵e＞1，
∴e=$1+\sqrt{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查拋物線與雙曲線的綜合，考查拋物線與雙曲線的幾何性質(zhì)，確定幾何量之間的關(guān)系是關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力．