Question

18．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若$\frac{1}{a}$，$\frac{1}$，$\frac{1}{c}$成等差數(shù)列，則cosB+sinB的取值范圍為（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及余弦定理進行化簡，結(jié)合基本不等式利用換元法進行轉(zhuǎn)化，求出B的取值范圍，結(jié)合輔助角公式進行化簡即可．

解答 解：∵$\frac{1}{a}$，$\frac{1}$，$\frac{1}{c}$成等差數(shù)列，
∴$\frac{2}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{a+c}{ac}$，即b=$\frac{2ac}{a+c}$
cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-（\frac{2ac}{a+c}）^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$）-$\frac{2ac}{（a+c）^{2}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$）-$\frac{2}{（\frac{a}{c}+\frac{c}{a}）+2}$，
令t=$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$，則t≥2，
則cosB=$\frac{1}{2}$t-$\frac{2}{t+2}$在t≥2時，為增函數(shù)，
∴cosB≥$\frac{1}{2}×2-\frac{2}{2+2}$=1-$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
則0＜B≤$\frac{π}{3}$，cosB+sinB=$\sqrt{2}$cos（B+$\frac{π}{4}$），
∵0＜B≤$\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{4}$＜B+$\frac{π}{4}$≤$\frac{7π}{12}$，
則$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cos（B+$\frac{π}{4}$）≤1，
則1＜$\sqrt{2}$cos（B+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
故答案為：（1，$\sqrt{2}$]

點評 本題主要考查三角函數(shù)的化簡和求解，根據(jù)等差數(shù)列以及余弦定理，基本不等式的應(yīng)用以及三角函數(shù)的輔助角公式進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．