Question

20．已知O是銳角三角形ABC的外接圓圓心，∠A=60°，$\frac{cosB}{sinC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$•$\overrightarrow{AC}$=2m•$\overrightarrow{AO}$，則m的值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 1
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)O是△ABC的外接圓圓心便可得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}=\frac{|\overrightarrow{AB}{|}^{2}}{2}，\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}=\frac{|\overrightarrow{AC}{|}^{2}}{2}$，這樣在$\frac{cosB}{sinC}•\overrightarrow{AB}+\frac{cosC}{sinB}•\overrightarrow{AC}=2m•\overrightarrow{AO}$兩邊同乘以$\overrightarrow{AO}$，便可得到$\frac{cosB}{sinC}•\frac{|\overrightarrow{AB}|}{2}+\frac{cosC}{sinB}•\frac{|\overrightarrow{AC}{|}^{2}}{2}=2m•|\overrightarrow{AO}{|}^{2}$，而可設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，從而$|\overrightarrow{AO}|=R$，并且由正弦定理有$|\overrightarrow{AB}|=2RsinC，|\overrightarrow{AC}|=2RsinB$，帶入上式便可得到，sinCcosB+cosCsinB=m，根據(jù)∠A=60°及兩角和的正弦公式便可求出m的值．

解答 解：如圖，取AB的中點(diǎn)D，AC的中點(diǎn)E，連接OD，OE，則：
OD⊥AB，OE⊥AC；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AO}|cos∠BAO$=$\frac{|\overrightarrow{AB}{|}^{2}}{2}$，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}=\frac{|\overrightarrow{AC}{|}^{2}}{2}$；
∴由$\frac{cosB}{sinC}•\overrightarrow{AB}+\frac{cosC}{sinB}•\overrightarrow{AC}=2m•\overrightarrow{AO}$得，$\frac{cosB}{sinC}•\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}+\frac{cosC}{sinB}•\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}=2m•{\overrightarrow{AO}}^{2}$；
∴$\frac{cosB}{sinC}•\frac{|\overrightarrow{AB}{|}^{2}}{2}+\frac{cosC}{sinB}•\frac{|\overrightarrow{AC}{|}^{2}}{2}=2m•|\overrightarrow{AO}{|}^{2}$（1）；
設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則$|\overrightarrow{AO}|=R$；
由正弦定理得，$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{sinC}=\frac{|\overrightarrow{AC}|}{sinB}=2R$；
∴$|\overrightarrow{AB}|=2RsinC，|\overrightarrow{AC}|=2RsinB$，且$|\overrightarrow{AO}|=R$，代入（1）得：
2cosBsinC•R²+2cosCsinB•R²=2mR²；
∴sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sinA=m；
又∠A=60°；
∴$m=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 考查三角形的外接圓圓心的概念，向量數(shù)量積的計(jì)算公式，三角函數(shù)的定義，以及正弦定理，兩角和的正弦公式，并清楚三角形的內(nèi)角和．