Question

在一塊傾斜放置的矩形木板上釘著一個(gè)形如“等腰三角形”的九行鐵訂，釘子之間留有間隙作為通道，自上而下第1行2個(gè)鐵釘之間有1個(gè)空隙，第2行3個(gè)鐵釘之間有2個(gè)空隙，…，第9行10個(gè)鐵釘之間有9個(gè)空隙（如圖所示），一個(gè)玻璃球通過第1行的空隙向下滾動(dòng)，玻璃球碰到第2行居中的鐵釘后以相等的概率滾入第2行的左空隙或者右空隙，以后玻璃球按類似方式繼續(xù)往下滾動(dòng)，落入第9行的某一個(gè)空隙內(nèi)，最后掉入木板下方的相應(yīng)槽內(nèi)，玻璃球落入不同的球槽得到不同的分?jǐn)?shù)ξ在圖中給出，求Eξ（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）.

Answer 1

解析：本題解決的關(guān)鍵是讀懂題意，看清圖形從第1行開始，玻璃球從一個(gè)空隙往下滾，玻璃球碰到此下方的一個(gè)鐵釘后以的概率落入鐵釘左邊空隙.同樣以的概率落入鐵釘右邊空隙，玻璃球繼續(xù)往下滾時(shí)，總有落入鐵釘左邊和右邊空隙兩種結(jié)果，直到最后掉入某一個(gè)球槽內(nèi)，一共進(jìn)行了8次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，若設(shè)8次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中落入鐵釘左邊空隙的次數(shù)為η，則η～B（8，）.

∵P（ξ=10）=P（η=0或η=8）=P（η=0）+P（η=8）=（）⁰（）⁸+（）⁸（）⁰=，

P（ξ=8）=P（η=1或η=7）=P（η=1）+P（η=7）=（）¹（）⁷+（）⁷（）¹=，

P（ξ=6）=P（η=2或η=6）=P（η=2）+P（η=6）=（）²（）⁶+（）⁶（）²=，

P（ξ=4）=P（η=3或η=5）=P（η=3）+P（η=5)=C³₈（）³（)⁵+（）⁵（）³=

P（ξ=2）=P（η=4）=（）⁴（）⁴=，

∴Eξ=10×+8×+6×+4×+2×≈4.19.