Question

在一塊傾斜放置的矩形木板上釘著一個形如“等腰三角形”的九行鐵釘，釘子之間留有空隙作為通道，自上而下第1行2個鐵釘之間有1個空隙，第2行3個鐵釘之間有2個空隙…第9行10個鐵釘之間有9個空隙（如圖所示）．一個玻璃球通過第1行的空隙向下滾動，玻璃球碰到第二行居中的鐵釘后以相等的概率滾入第2行的左空隙或右空隙，以后玻璃球按類似方式繼續(xù)往下滾動，落入第9行的某一個空隙后，最后掉入木板下方的相應(yīng)槽內(nèi)．玻璃球落入不同球槽得到不同的分?jǐn)?shù)ξ在圖中給出，求Eξ（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）．

Answer 1

分析：本題解決的關(guān)鍵是讀懂題意，看清圖形從第1行開始，玻璃球從一個空隙往下滾，玻璃球碰到此下方的一個鐵釘后以

1

2

的概率落入鐵釘左邊空隙．同樣以

1

2

的概率落入鐵釘右邊空隙，玻璃球繼續(xù)往下滾時，總有落入鐵釘左邊和右邊空隙兩種結(jié)果，直到最后掉入某一個球槽內(nèi)，一共進(jìn)行了8次獨立重復(fù)試驗，若設(shè)8次獨立重復(fù)試驗中落入鐵釘左邊空隙的次數(shù)為η，則η～B（8，

1

2

），然后計算出相應(yīng)的概率，計算出數(shù)學(xué)期望即可．

解答：解：看清圖形從第1行開始，玻璃球從一個空隙往下滾，玻璃球碰到此下方的一個鐵釘后以

1

2

的概率落入鐵釘左邊空隙．同樣以

1

2

的概率落入鐵釘右邊空隙，玻璃球繼續(xù)往下滾時，總有落入鐵釘左邊和右邊空隙兩種結(jié)果，直到最后掉入某一個球槽內(nèi)，一共進(jìn)行了8次獨立重復(fù)試驗，若設(shè)8次獨立重復(fù)試驗中落入鐵釘左邊空隙的次數(shù)為η，則η～B（8，

1

2

）．
∵P（ξ=10）=P（η=0或η=8）=P（η=0）+P（η=8）=C₈⁰（

1

2

）⁰（

1

2

）⁸+C₈⁸（

1

2

）⁸（

1

2

）⁰=

1

27

，
P（ξ=8）=P（η=1或η=7）=P（η=1）+P（η=7）=C₈¹（

1

2

）¹（

1

2

）⁷+C₈⁷（

1

2

）⁷（

1

2

）¹=

8

27

，
P（ξ=6）=P（η=2或η=6）=P（η=2）+P（η=6）=C₈²（

1

2

）²（

1

2

）⁶+C⁶₈（

1

2

）⁶（

1

2

）²=

28

27

，
P（ξ=4）=P（η=3或η=5）=P（η=3）+P（η=5）=C³₈（

1

2

）³（

1

2

）⁵+C⁵₈（

1

2

）⁵（

1

2

）³=

56

27

P（ξ=2）=P（η=4）=C⁴₈（

1

2

）⁴（

1

2

）⁴=

35

27

，
∴Eξ=10×

1

27

+8×

8

27

+6×

28

27

+4×

56

27

+2×

35

27

≈4.19．

點評：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的期望，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，屬于中檔題．