Question

11．已知F是拋物線y²=4x的焦點，過F作一直線l交拋物線于A，B兩點，若$\overrightarrow{FB}$=3$\overrightarrow{AF}$，則直線l與坐標軸圍成的三角形的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 F（1，0），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由$\overrightarrow{FB}$=3$\overrightarrow{AF}$，可得x₂-1=3（1-x₁）．設直線l的方程為y=k（x-1），與拋物線方程聯(lián)立化為：k²x²-（4+k²）x+k²=0，利用根與系數(shù)的關系可得k，進而得出．

解答 解：F（1，0），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵$\overrightarrow{FB}$=3$\overrightarrow{AF}$，∴x₂-1=3（1-x₁），（*）
設直線l的方程為y=k（x-1），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為：k²x²-（4+k²）x+k²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4+{k}^{2}}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
與（*）聯(lián)立解得k=$±\sqrt{3}$．
取k=$\sqrt{3}$，可得直線l的方程為：y=$\sqrt{3}$（x-1），
與y軸相交于點E（0，-$\sqrt{3}$）．
∴S_△OEF=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交弦長問題、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．