Question

12．定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M≥0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的一個上界．已知函數(shù)$f（x）=1+a{（\frac{1}{2}）^x}+{（\frac{1}{4}）^x}$，$g（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{1-ax}{x-1}$．
（1）若函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)g（x）在區(qū)間$[\frac{9}{7}，3]$上的所有上界構成的集合；
（3）若函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是以5為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義求出a的值即可；
（2）先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的值域，從而求出函數(shù)g（x）在區(qū)間$[\frac{9}{7}，3]$上的所有上界構成的集合；
（3）問題轉化為$-6•{2^x}-{（\frac{1}{2}）^x}≤a≤4•{2^x}-{（\frac{1}{2}）^x}$在[0，+∞）上恒成立，通過換元法求解即可．

解答 解：（1）因為函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，
所以g（-x）=-g（x），即${log_{\frac{1}{2}}}\frac{1+ax}{-x-1}=-{log_{\frac{1}{2}}}\frac{1-ax}{x-1}$，
即$\frac{1+ax}{-x-1}=\frac{x-1}{1-ax}$，得a=±1，而當a=1時不合題意，故a=-1．
（2）由（1）得：$g（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{1+x}{x-1}$，
而$g（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{1+x}{x-1}={log_{\frac{1}{2}}}（1+\frac{2}{x-1}）$，易知g（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)$g（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{1+x}{x-1}$在區(qū)間$[\frac{9}{7}，3]$上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)$g（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{1+x}{x-1}$在區(qū)間$[\frac{9}{7}，3]$上的值域為[-3，-1]，所以|g（x）|≤3，
故函數(shù)g（x）在區(qū)間$[\frac{9}{7}，3]$上的所有上界構成集合為[3，+∞）．
（3）由題意知，|f（x）|≤5在[0，+∞）上恒成立，-5≤f（x）≤5，$-6-{（\frac{1}{4}）^x}≤a{（\frac{1}{2}）^x}≤4-{（\frac{1}{4}）^x}$．
∴$-6•{2^x}-{（\frac{1}{2}）^x}≤a≤4•{2^x}-{（\frac{1}{2}）^x}$在[0，+∞）上恒成立．
∴${[-6•{2^x}-{（\frac{1}{2}）^x}]_{max}}≤a≤{[4•{2^x}-{（\frac{1}{2}）^x}]_{min}}$
設2^x=t，$h（t）=-6t-\frac{1}{t}$，$P（t）=4t-\frac{1}{t}$，由x∈[0，+∞），得t≥1．
易知P（t）在[1，+∞）上遞增，
設1≤t₁＜t₂，$h（{t_1}）-f（{t_2}）=\frac{{（{t_2}-{t_1}）（6{t_1}{t_2}-1）}}{{{t_1}{t_2}}}＞0$，
所以h（t）在[1，+∞）上遞減，h（t）在[1，+∞）上的最大值為h（1）=-7，p（t）在[1，+∞）上的最小值為p（1）=3，
所以實數(shù)a的取值范圍為[-7，3]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，考查函數(shù)的新定義問題，考查換元思想，是一道中檔題．