Question

2．已知函數(shù)f（x）=sin²x-sin²（x-$\frac{π}{6}$），x∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）若關(guān)于x的方程2f（x）-m+1=0在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]上有兩個(gè)相異的實(shí)根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（2）由題意可知，函數(shù)y=2f（x）與函數(shù)y=m-1的圖象在區(qū)間$[-\frac{π}{3}，\frac{π}{4}]$上有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象求得m的范圍．

解答 解：（ 1 ） 由已知，有f（x）=$\frac{1-cos2x}{2}-\frac{{1-cos（{2x-\frac{π}{3}}）}}{2}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x}）-\frac{1}{2}$cos2x
=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2x-\frac{1}{4}cos2x=\frac{1}{2}sin（{2x-\frac{π}{6}}）$．
設(shè)2kπ+$\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，解得kπ+$\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{5π}{6}$，
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為：$[kπ+\frac{π}{3}\;，\;kπ+\frac{5π}{6}]\;\;（k∈Z）$．
（2）由題意可知，函數(shù)y=2f（x）與函數(shù)y=m-1的圖象在
區(qū)間$[-\frac{π}{3}，\frac{π}{4}]$上有兩個(gè)交點(diǎn)，
∵$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{4}]\;\;∴2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{5π}{6}，\frac{π}{3}]$，
∴2f（x）=2•$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
結(jié)合圖象可得：-1＜m-1≤-$\frac{1}{2}$，解得0＜m≤$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的圖象特征，屬于中檔題．