Question

17． 如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC⊥底面ABCD，點E是SB的中點，∠SBC=45°，SC=SB=2$\sqrt{2}$，△ACD為等邊三角形．
（Ⅰ）求證：SD∥平面ACE；
（Ⅱ）求三棱錐S-ACE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD，交AC于O，連接OE，利用線面平行的判定定理即可證明SD∥平面ACE；
（Ⅱ）根據三棱錐的體積關系轉化為V_S-ACE=V_S-ABC-V_E-ACE，結合三棱錐的體積公式求對應的底面積和高即可求三棱錐S-ACE的體積．

解答 （Ⅰ）證明：連接BD，交AC于O，連接OE，
∵底面ABCD為平行四邊形，
∴O是BD的中點，
∵E是SB的中點，
∴OE是△SBD的中位線，
∴OE∥SD，
∵OE?平面ACE，SD?平面ACE，
∴SD∥平面ACE
（Ⅱ）解：∵側面SBC⊥底面ABCD，∠SBC=45°，SC=SB=2$\sqrt{2}$，
∴△SBC是等腰直角三角形，且BC=4，
取BC的中點F，FB的中點H，
則SF∥EH，且SF⊥平面ABCD，
即SF是三棱錐S-ABC的高，EH是三棱錐E-ABC的高，
則V_S-ACE=V_S-ABC-V_E-ACE，
∵△ACD為等邊三角形．
∴△ABC為邊長為4等邊三角形，則三角形的面積S_△ABC=$\frac{1}{2}×{4}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
高SF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×4$=2，EH=$\frac{1}{2}$SF=$\frac{1}{2}×2=1$，
則V_S-ACE=V_S-ABC-V_E-ACE=$\frac{1}{3}$S_△ABC•SF-$\frac{1}{3}$S_△ABC•EH=$\frac{1}{3}$×4$\sqrt{3}$×2-$\frac{1}{3}$×4$\sqrt{3}$×1=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查線面平行的判斷，以及三棱錐體積的計算，根據體積割補法將體積轉化為V_S-ACE=V_S-ABC-V_E-ACE，是解決本題的關鍵．