Question

11．如圖，A、B、C、D四點(diǎn)在同一圓上，BC與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上．
（1）若EF²=FA•FB，證明：EF∥CD；
（2）若BD平分∠ABC，AE=2AB，求證：EC=2AD．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意中的比例中項(xiàng)，可得$\frac{EF}{FA}=\frac{FB}{FE}$，結(jié)合公共角可得△FAE∽△FEB，所以∠FEA=∠EBF，再由A，B，C，D四點(diǎn)共圓得到∠EDC=∠EBF，利用等量代換可得∠FEA=∠EDC，內(nèi)錯(cuò)角相等，所以EF∥CD．
（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，從而△EDC∽△EBA，利用角平分線的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵EF²=FA•FB，
∴$\frac{EF}{FA}=\frac{FB}{FE}$，
又∵∠EFA=∠BFE，
∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，
又∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，
∴∠EDC=∠EBF，
∴∠FEA=∠EDC，
∴EF∥CD．
（2）∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，
∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B
∴△EDC∽△EBA，
∴$\frac{ED}{EB}$=$\frac{EC}{EA}$．
∵BD平分∠ABC，
∴$\frac{AB}{EB}$=$\frac{AD}{ED}$，
∴$\frac{ED}{EB}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{EC}{EA}$，
∴AE=2AB，
∴EC=2AD．

點(diǎn)評(píng) 本題在圓內(nèi)接四邊形的條件下，一方面證明兩條直線平行，另一方面求線段的比值．著重考查了圓中的比例線段、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．