Question

18．如圖，已知等邊△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC邊的中點(diǎn)，N為BC邊上一點(diǎn)，且CN=$\frac{1}{4}$BC，將△AEF沿EF折到△A′EF的位置，使平面A′EF⊥平面EF-CB，M為EF中點(diǎn)．
（1）求證：平面A′MN⊥平面A′BF；
（2）求二面角E-A′F-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，取BC的中點(diǎn)G，連接MG，則MG⊥EF，利用面面與線面垂直的性質(zhì)與判定定理可得：MG⊥A′M，又A′M⊥EF，因此可以建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)BC=4．只要證明平面法向量的夾角為直角即可證明平面A′MN⊥平面A′BF．
（2）利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得出．

解答 （1）證明：如圖所示，取BC的中點(diǎn)G，連接MG，則MG⊥EF，
∵平面A′EF⊥平面EFCB，平面A′EF∩平面EFCB=EF，
∴MG⊥平面A′EF，∴MG⊥A′M，又A′M⊥EF，
因此可以建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)BC=4．
M（0，0，0），A′（0，0，$\sqrt{3}$），N（-1，$\sqrt{3}$，0），
B（2，$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)（-1，0，0）．
$\overrightarrow{M{A}^{′}}$=（0，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{MN}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{F{A}^{′}}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{FB}$=（3，$\sqrt{3}$，0）．
設(shè)平面A′MN的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{M{A}^{′}}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MN}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}z=0}\\{-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{m}$=$（\sqrt{3}，1，0）$．
同理可得平面A′BF的法向量$\overrightarrow{n}$=$（\sqrt{3}，-3，-1）$．
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=3-3+0=0，∴$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，
∴平面A′MN⊥平面A′BF．
（2）解：由（1）可得平面A′BF的法向量$\overrightarrow{n}$=$（\sqrt{3}，-3，-1）$．
取平面EA′F的法向量$\overrightarrow{u}$=（0，1，0）．
則cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{u}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{u}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{u}|}$=$\frac{-3}{\sqrt{3+{3}^{2}+1}×1}$=$-\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
由圖可知：二面角E-A′F-B的平面角為銳角，
∴二面角E-A′F-B的平面角的余弦值為$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用平面法向量的夾角求出二面角的方法、向量夾角公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、空間位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．