Question

已知函數(shù)，，其中．

(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

(2)若對(duì)任意的（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）都有≥成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

(1) (2)

【解析】

試題分析：(1)先求導(dǎo)，根據(jù)題意 (2)可將問題轉(zhuǎn)化為≥，分別求導(dǎo)令導(dǎo)數(shù)大于0、小于0得單調(diào)性，用單調(diào)性求最值。在解導(dǎo)數(shù)大于0或小于0的過程中注意對(duì)的討論。

試題解析：(1)解法1：∵，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720033413051812/SYS201411172003416932559021_DA/SYS201411172003416932559021_DA.008.png">，

∴． ∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴，即．

∵，∴． 經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴．、

解法2：∵，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720033413051812/SYS201411172003416932559021_DA/SYS201411172003416932559021_DA.016.png">，

∴． 令，即，整理，得．

∵，

∴的兩個(gè)實(shí)根（舍去），，

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

依題意，，即，∵，∴．

(2)對(duì)任意的都有≥成立等價(jià)于對(duì)任意的都有≥．當(dāng)［1，］時(shí)，．

∴函數(shù)在上是增函數(shù)．∴．

∵，且，．

①當(dāng)且［1，］時(shí)，，

∴函數(shù)在［1，］上是增函數(shù)，

∴.由≥，得≥，又，∴不合題意．

②當(dāng)1≤≤時(shí)，

若1≤＜，則，若＜≤，則．

∴函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

∴.

由≥，得≥，又1≤≤，∴≤≤．

③當(dāng)且［1，］時(shí)，，

∴函數(shù)在上是減函數(shù)．

∴.由≥，得≥，

又，∴．

綜上所述，的取值范圍為．

考點(diǎn)：用導(dǎo)數(shù)求極值和最值。