Question

9．有如下命題：
①x∈（0，+∞）時，sinx＜x恒成立；
②sin$\frac{3}{2}$cos$\frac{3}{2}$＜0；
③sin²x=$\frac{ta{n}^{2}x}{1+ta{n}^{2}x}$；
④f（x）=|sinx|最小正周期是π，
其中正確命題的代號是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ②③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用三角恒等變換與同角的三角函數(shù)關(guān)系，對題目中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可．

解答 解：對于①，設(shè)f（x）=sinx-x，則f′（x）=cosx-1≤0，
所以f（x）是定義域（0，+∞）上的單調(diào)減函數(shù)，
所以f（x）＜f（0）=0，即sinx＜x；
所以x∈（0，+∞）時，sinx＜x恒成立，命題①正確；
對于②，sin$\frac{3}{2}$cos$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$sin3=$\frac{1}{2}$sin（π-3）＞0，故命題②錯誤；
對于③，sin²x=$\frac{{sin}^{2}x}{{sin}^{2}x{+cos}^{2}x}$=$\frac{\frac{{sin}^{2}x}{{cos}^{2}x}}{\frac{{sin}^{2}x}{{cos}^{2}x}+1}$=$\frac{ta{n}^{2}x}{1+ta{n}^{2}x}$，故命題③正確；
對于④，根據(jù)函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象與性質(zhì)知，它的最小正周期是π，命題④正確；
綜上，正確命題的序號是①③④．
故選：B．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了三角恒等變換與同角的三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．