Question

2．已知雙曲線Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，斜率為$\sqrt{3}$的直線l經(jīng)過(guò)雙曲線Γ的右焦點(diǎn)F₂與雙曲線Γ在第一象限交于點(diǎn)，若△PF₁F₂是等腰三角形，則雙曲線Γ的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$+1
• C． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得直線的傾斜角為60°，利用等腰三角形的定義和任意角的三角函數(shù)的定義，可得P（c+2ccos60°，2csin60°），即為P（2c，$\sqrt{3}$c）．代入雙曲線方程，由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，得到e的方程，解方程即可得到e．

解答 解：斜率為$\sqrt{3}$的直線l，其傾斜角為60°，
△PF₁F₂是等腰三角形，即有|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
則有P（c+2ccos60°，2csin60°），即為P（2c，$\sqrt{3}$c）．
代入雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
即有$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{^{2}}$=1，
由離心率公式e=$\frac{c}{a}$，b²=c²-a²，
即有4e²-$\frac{3{e}^{2}}{{e}^{2}-1}$=1，
化簡(jiǎn)可得4e⁴-8e²+1=0，解得
e²=1$±\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由e＞1，解得e=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的離心率的求法，運(yùn)用直線的傾斜角和等腰三角形的定義，結(jié)合任意角的三角函數(shù)的定義，求出P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．