Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足：|$\overrightarrow{a}$|=13，|$\overrightarrow$|=1，|$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow$|≤12，則$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$上的投影長(zhǎng)度的取值范圍是$[\frac{5}{13}，1]$．

Answer 1

分析 將已知不等式兩邊平方得到兩個(gè)向量的數(shù)量積的不等式，利用向量的投影的定義得到范圍．

解答 解：由已知：|$\overrightarrow a|=13$，|$\overrightarrow b|=1$，|$\overrightarrow a-5\overrightarrow b|≤12$，得到$|\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{|}^{2}≤144$，所以169-10$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+25≤144，所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$≥5所以$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$上的投影$\overrightarrow•cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$$≥\frac{5}{13}$；又cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞≤1，所以$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$上的投影的取值范圍是[$\frac{5}{13}$，1]；
故答案為：$[\frac{5}{13}，1]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的模的計(jì)算以及向量的投影；關(guān)鍵是將已知不等式平方得到數(shù)量積的范圍，進(jìn)一步得到投影的范圍，屬于基礎(chǔ)題．