Question

5．已知函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x-1-a，（a∈R）；
（1）若f（x）有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（2）當(dāng)f（x）有零點(diǎn)時(shí)，討論f（x）有零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并求出f（x）的零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）換元，分離參數(shù)，利用配方法可得結(jié)論；
（2）結(jié)合（1），分類(lèi)討論，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令（$\frac{1}{2}$）^x=t（t＞0），f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x-1-a=0
可化為a=t²-2t=（t-1）²-1≥-1，
∴a≥-1，f（x）有零點(diǎn)；
（2）a≥0，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)x=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（1+\sqrt{1+a}）$；
a=-1時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)x=0，
-1＜a＜0時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（1±\sqrt{1+a}）$；
a＜-1時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．