Question

2．已知對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0．a(chǎn)≠1）與反比例函數(shù)$g（x）=\frac{k}{x}$的圖象均過(guò)點(diǎn)$（2，\frac{1}{2}）$．
（1）求出y=f（x）及y=g（x）的表達(dá)式；
（2）求關(guān)于x的不等式g[f（x）]＜2的解集．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：${log_a}2=\frac{1}{2}$，$\frac{k}{2}=\frac{1}{2}$，進(jìn)而可得a，k的值，得到y(tǒng)=f（x）及y=g（x）的表達(dá)式；
（2）由（1）g[f（x）]＜2即$\frac{1}{{{{log}_4}x}}＜2$，解對(duì)數(shù)不等式可得答案．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）由題意對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）=log_ax的圖象過(guò)點(diǎn)$（2，\frac{1}{2}）$
所以${log_a}2=\frac{1}{2}$，得a=4，于是f（x）=log₄x…（3分）
又反比例函數(shù)$g（x）=\frac{k}{x}$的圖象過(guò)點(diǎn)$（2，\frac{1}{2}）$
所以$\frac{k}{2}=\frac{1}{2}$，得k=1，于是$g（x）=\frac{1}{x}$…（6分）
（2）由（1）g[f（x）]＜2即$\frac{1}{{{{log}_4}x}}＜2$…（7分）
當(dāng)log₄x＞0時(shí)，即x＞1，${log_4}x＞\frac{1}{2}={log_4}2$，得2＜x，
所以x＞2…（9分）
當(dāng)log₄x＜0時(shí)，即0＜x＜1，$\frac{1}{{{{log}_4}x}}＜2$始終成立．
所以0＜x＜1…（11分）
于是關(guān)于x的不等式g[f（x）]＞2的解集為（0，1）∪（2，+∞）…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是函數(shù)的簡(jiǎn)單綜合應(yīng)用，難度中檔．