Question

20．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（b，$\frac{\sqrt{2}}{2}$b）．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）已知橢圓C的短軸長為2，A₁，A₂為左右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上異于A₁，A₂的一點(diǎn)，過，A₁，A₂的直線l₁，l₂交于點(diǎn)P，且與y軸分別交于點(diǎn)M，N，直線OT與過點(diǎn)M，N的圓G切于點(diǎn)T，確定點(diǎn)T的軌跡．

Answer 1

分析 （1）通過將點(diǎn)（b，$\frac{\sqrt{2}}{2}$b）代入橢圓方程，利用離心率的定義計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）及橢圓C的短軸長為2可知橢圓C方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，通過令直線l₁、l₂方程中x=0可知y_M=$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}}{\sqrt{2}+{x}_{0}}$、y_N=$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}}{\sqrt{2}-{x}_{0}}$，進(jìn)而利用切割線定理即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{（\frac{\sqrt{2}}{2}b）^{2}}{^{2}}$=1，
整理得：a=$\sqrt{2}$b，
∴橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-\frac{1}{2}{a}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）∵橢圓C的短軸長為2，
∴b=1，
又∵a=$\sqrt{2}$b，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
∴A₁（-$\sqrt{2}$，0）、A₂（$\sqrt{2}$，0），記P（x₀，y₀），
則直線l₁方程為：y-0=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}+\sqrt{2}}$（x+$\sqrt{2}$），
令x=0可知：y_M=$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}}{\sqrt{2}+{x}_{0}}$；
直線l₂方程為：y-0=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-\sqrt{2}}$（x-$\sqrt{2}$），
令x=0可知：y_N=$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}}{\sqrt{2}-{x}_{0}}$；
則|OM|•|ON|=|$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}}{\sqrt{2}+{x}_{0}}$•$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}}{\sqrt{2}-{x}_{0}}$|=|$\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{2-{{x}_{0}}^{2}}$|，
又∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=1，
∴${{y}_{0}}^{2}$=1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$，
∴$\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{2-{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{2-{{x}_{0}}^{2}}{2-{{x}_{0}}^{2}}$=1，
由切割線定理可知|OT|²=|OM|•|ON|=1，
∴點(diǎn)T的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓周．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線的方程、點(diǎn)在橢圓上滿足的條件、切割線定理是解題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．