Question

15．在空間直角坐標(biāo)系中有單位正方體ABCD-A′B′C′D′，E，F(xiàn)分別是棱C′D′和B′C′的中點(diǎn)，試求：
（1）AF與平面BEB′所成角的余弦值；
（2）求點(diǎn)A到平面BEB′的距離．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角公式sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AF}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}|}{\left|\overrightarrow{n}\right|•\left|\overrightarrow{AF}\right|}$即可得出；
（2）利用點(diǎn)A到面BEB₁的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$即可得出．

解答 解：（1）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．

則A（1，0，0），B（1，1，0），B₁（1，1，1），E（0，$\frac{1}{2}$，1），F(xiàn)（$\frac{1}{2}$，1，1）．
∴$\overrightarrow{{BB}_{1}}$=（0，0，1），$\overrightarrow{BE}$=（-1，-$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{AF}$=（-$\frac{1}{2}$，1，1）．
設(shè)平面BEB₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{BB}_{1}}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}z=0\\-x-\frac{1}{2}y=0\end{array}\right.$，取y=2，則x=-1，z=0．
∴$\overrightarrow{n}$=（-1，2，0），
設(shè)AF與平面BEB₁所成的角為θ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]．
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AF}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}|}{\left|\overrightarrow{n}\right|•\left|\overrightarrow{AF}\right|}$=$\frac{\frac{1}{2}+2}{\sqrt{5}•\sqrt{\frac{1}{4}+2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-{sin}^{2}θ}$=$\frac{2}{3}$．
（2）由（1）可得平面BEB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{AB}$=（0，1，0）．
∴點(diǎn)A到面BEB₁的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握線面角公式sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AF}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}|}{\left|\overrightarrow{n}\right|•\left|\overrightarrow{AF}\right|}$、點(diǎn)A到面BEB₁的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$是解題的關(guān)鍵．