Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n（n≥1），則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和等于（　�。�

• A． $\frac{n}{n+1}$
• B． $\frac{n-1}{n}$
• C． $\frac{1}{n}$
• D． $\frac{1}{n+1}$

Answer 1

分析 由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，推導(dǎo)出a_n=n，從而$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n（n≥1），
∴${a}_{1}={S}_{1}=\frac{1}{2}×{1}^{2}+\frac{1}{2}×1$=1，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n$）-[$\frac{1}{2}（n-1）^{2}+\frac{1}{2}（n-1）$]=n，
n=1時(shí)，上式成立，
∴a_n=n．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和：
S_n=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．