Question

10．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且滿足①f（4）=0；②曲線y=f（x+1）關于點（-1，0）對稱；③當x∈（-4，0）時f（x）=log₂（$\frac{x}{{e}^{|x|}}$+e^x-m+1），若y=f（x）在x∈[-4，4]上有5個零點，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． [-3e^-4，1）
• B． [-3e^-4，1）∪{-e^-2}
• C． [0，1）∪{-e^-2}
• D． [0，1）

Answer 1

分析 可判斷f（x）在R上是奇函數(shù)，從而可化為當x∈（-4，0）時，f（x）=log₂（$\frac{x}{{e}^{|x|}}$+e^x-m+1）有1個零點，從而轉化為xe^x+e^x-m+1=1在（-4，0）上有1個解，再令g（x）=xe^x+e^x-m，求導確定函數(shù)的單調性及取值范圍，從而解得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵曲線y=f（x+1）關于點（-1，0）對稱，
∴曲線y=f（x）關于點（0，0）對稱，
∴f（x）在R上是奇函數(shù)，
則f（0）=0．
又∵f（4）=0，
∴f（-4）=0，
而y=f（x）在x∈[-4，4]上恰有5個零點，
故x∈（-4，0）時，f（x）=log₂（$\frac{x}{{e}^{|x|}}$+e^x-m+1）有1個零點，
而f（x）=log₂（$\frac{x}{{e}^{|x|}}$+e^x-m+1）
=log₂（$\frac{x}{{e}^{-x}}$+e^x-m+1）
=log₂（xe^x+e^x-m+1），
故xe^x+e^x-m+1=1在（-4，0）上有1個解，
令g（x）=xe^x+e^x-m，
g′（x）=e^x+xe^x+e^x=e^x（x+2），
故g（x）在（-4，-2）上是減函數(shù)，在（-2，0）上是增函數(shù)．
而g（-4）=-4e^-4+e^-4-m=-3e^-4-m，g（0）=1-m，g（-2）=-2e^-2+e^-2-m=-e^-2-m，
而g（-4）＜g（0），
故g（-2）=-e^-2-m=0或-3e^-4-m≤0＜1-m，
故m=-e^-2或-3e^-4≤m＜1，
∴實數(shù)m的取值范圍為[-3e^-4，1）∪{-e^-2}．
故選：B．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及函數(shù)的性質的判斷與應用，同時考查了方程的根與函數(shù)的零點的關系應用，屬中檔題．