Question

5．已知如圖，在Rt△ABC中，∠A=60°，AB=6，點D、E是斜邊AB上兩點．
（1）當點D是線段AB靠近A的一個三等點時，求$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{CA}$的值；
（2）當點D、E在線段AB上運動時，且∠DCE=30°，設∠ACD=θ，試用θ表示△DCE的面積S，并求S的最小值．

Answer 1

分析 （1）以C為坐標原點建立平面直角坐標系，求出$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{CA}$的坐標帶入公式計算；
（2）在△ACD中，由正弦定理得CD的長，在△BCE中，由正弦定理求出CE的長，帶入面積公式S=$\frac{1}{2}$CD•CE•sin30°進行三角化簡．

解答 解：（1）以CA為x軸，CB為y軸建立平面直角坐標系如圖：
∵∠A=60°，AB=6，∠BCA=90°．
∴A（3，0），B（0，3$\sqrt{3}$），C（0，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-3，3$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$=（-1，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{CA}$=（3，0）．
∴$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AD}$=（2，$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{CA}$=3×2+0×$\sqrt{3}$=6．
（2）在△ACD中，∠ADC=180°-60°-θ=120°-θ，AC=3，
由正弦定理得$\frac{CD}{sin60°}$=$\frac{AC}{sin（120°-θ）}$
∴CD=AC•$\frac{sin60°}{sin（120°-θ）}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}cosθ+sinθ}$．
在△BCE中，∠BCE=90°-30°-θ=60°-θ，
∠BEC=180°-30°-（60°-θ）=90°+θ，BC=3$\sqrt{3}$．
由正弦定理得$\frac{BC}{sin∠BEC}$=$\frac{CE}{sin30°}$，
∴CE=BC•$\frac{sin30°}{sin（90°+θ）}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2cosθ}$．
∴S=$\frac{1}{2}$CD•CE•sin30°=$\frac{27}{8}$•$\frac{1}{\sqrt{3}co{s}^{2}θ+sinθcosθ}$
=$\frac{27}{8}$•$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}cos2θ+\frac{1}{2}sin2θ+\frac{\sqrt{3}}{2}}$
=$\frac{27}{8}$•$\frac{1}{sin（2θ+60°）+\frac{\sqrt{3}}{2}}$．
∵0°≤θ≤60°，
∴60°≤2θ+60°≤180°，
∴0≤sin（2θ+60°）≤1，
∴當sin（2θ+60°）=1時，S取得最小值，最小值為$\frac{54+27\sqrt{3}}{16}$．

點評 本題考查了向量的運算在幾何中的應用，建立坐標系是簡化計算的主要方法，本題第二問計算稍復雜，屬于中檔題．