Question

19．已知a，b∈R，直線ax+2y-3=0與直線（a-1）x+by+2=0平行，則a²b的最小值是（　�。�

• A． 0
• B． $-\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $-\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 直線ax+2y-3=0與直線（a-1）x+by+2=0平行，可得b≠0，分別化為：y=-$\frac{a}{2}$x+$\frac{3}{2}$，y=-$\frac{a-1}$x-$\frac{2}$，因此$-\frac{a}{2}=-\frac{a-1}$，$\frac{3}{2}$≠-$\frac{2}$，化簡(jiǎn)代入利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵直線ax+2y-3=0與直線（a-1）x+by+2=0平行，
∴b≠0，分別化為：y=-$\frac{a}{2}$x+$\frac{3}{2}$，y=-$\frac{a-1}$x-$\frac{2}$，
∴$-\frac{a}{2}=-\frac{a-1}$，$\frac{3}{2}$≠-$\frac{2}$，
化為：ab=2a-2，b≠-$\frac{4}{3}$．
則a²b=${a}^{2}×\frac{2a-2}{a}$=2a²-2a=2$（a-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{2}$≥$-\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{1}{2}$，b=-2時(shí)取等號(hào)．
∴a²b的最小值是-$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、相互平行的直線的充要條件，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．