Question

18．已知tanα，tanβ是方程x²-4x-2=0的兩個(gè)實(shí)根，求cos²（α+β）+2sin（α+β）cos（α+β）-2sin²（α+β）的值．

Answer 1

分析 先利用韋達(dá)定理，求出tanα+tanβ和tanα•tanβ的值，利用正切的兩角和公式求出tan（α+β）的值；再把原式化簡成關(guān)于正切的分?jǐn)?shù)，最后得出結(jié)果．

解答 解：由已知有tanα+tanβ=4，tanα•tanβ=-2，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=$\frac{4}{3}$，
∴cos²（α+β）+2sin（α+β）cos（α+β）-2sin²（α+β）
=$\frac{co{s}^{2}（α+β）+2sin（α+β）cos（α+β）-2si{n}^{2}（α+β）}{si{n}^{2}（α+β）+co{s}^{2}（α+β）}$
=$\frac{1+2tan（α+β）-2ta{n}^{2}（α+β）}{ta{n}^{2}（α+β）+1}$=$\frac{1+2×\frac{4}{3}-2×（\frac{4}{3}）^{2}}{（\frac{4}{3}）^{2}+1}$=$\frac{1}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了弦切轉(zhuǎn)化的問題．注意利用好三角函數(shù)中的正弦余弦的平方關(guān)系，是中檔題．