Question

3．如圖，扇形AOB中，OA=1，∠AOB=90°M是OB中點，P是弧$\widehat{AB}$上的動點，N是線段OA上的動點，則$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的最小值是1-$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 以O(shè)為原點建立坐標(biāo)系，設(shè)P（cosα，sinα），N（a，0），求出$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{PN}$的坐標(biāo)，得出$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$關(guān)于a，α的函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出最小值．

解答 解：以O(shè)A，OB為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)P（cosα，sinα），N（a，0），M（0，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{PM}$=（-cosα，$\frac{1}{2}-$sinα），$\overrightarrow{PN}$=（a-cosα，-sinα），
∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=cos²α-acosα+sin²α-$\frac{1}{2}$sinα=1-$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{4}}$sin（α+φ）．
∵0≤a≤1，0≤α≤$\frac{π}{2}$，
∴當(dāng)a=1，α+φ=$\frac{π}{2}$時，$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$取得最小值1-$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$1-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題．