Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2

2

的正方形，其他四個(gè)側(cè)面是側(cè)棱長為

5

的等腰三角形，過棱PD的中點(diǎn)E作截面EFGH，使截面EFGH∥平面PBC，且截面EFGH分別交四棱錐各棱F、G、H．
（Ⅰ）證明：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）求截面EFGH與平面PAD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出EH∥PC，EF∥AD，由此能證明EF∥平面ABCD．
（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OA，OP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出截面EFGH與平面PAD所成銳二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵平面EFGH∥平面PBC，
平面EFGH∩平面PCD=EH，平面PBC∩平面PCD=PC，
∴EH∥PC，又E是PD的中點(diǎn)，∴H是CD的中點(diǎn)，
同理可證F，G分別是PA、AB的中點(diǎn)，
∴EF∥AD，又EF不包含于平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
（Ⅱ）解：∵底面ABCD是邊長為2

2

的正方形，
設(shè)AC∩BD=O，則AC⊥BD，且AC=BD=4，
由側(cè)面?zhèn)壤忾L為

5

的等腰三角形，知：
PO⊥AC，PO⊥BD，∴PO⊥平面ABCD，
∴以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OA，OP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意知A（0，2，0），B（2，0，0），
C（0，-2，0），D（-2，0，0），P（0，0，1），
由平面EFGH∥平面PBC知平面EFGH與平面PAD所成銳二面角等于平面PBC與平面PAD所成銳二面角，
設(shè)平面PBC的法向量為

m

=(x，y，z)，
∵

PB

=(2，0，-1)，

PC

=(0，-2，-1)，
∴

m • PB =2x-z=0 m • PC =-2y-z=0

，
取x=1，得

m

=(1，-1，2)．
設(shè)平面PAD的法向量

n

=(x1，y1，z1)，
∵

PA

=(0，2，-1)，

PD

=(-2，0，-1)，
∴

n • PA =2y1-z1=0 n • PD =-2x1-z1=0

，
取x₁=1，得

n

=（1，-1，-2），
設(shè)截面EFGH與平面PAD所成銳二面角的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

-2

6 • 6

|=

1

3

，
∴截面EFGH與平面PAD所成銳二面角的余弦值為

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．