Question

12．已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{a_n}滿足a₁+a₂+a₃=7，且a₃是a₁，a₂+5的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a_n+1，c_n=$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，記數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n．若對任意的n∈N^*，不等式T_n≤k（n+4）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}=7}\\{{a}_{1}+{a}_{1}q+5=2{a}_{1}{q}^{2}}\end{array}\right.$，從而求得；
（Ⅱ）化簡b_n=log₂a_n+1=n，c_n=$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，從而化簡不等式為k≥$\frac{n}{（n+1）（n+4）}$=$\frac{1}{n+\frac{4}{n}+5}$恒成立；從而求得．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
則$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}=7}\\{{a}_{1}+{a}_{1}q+5=2{a}_{1}{q}^{2}}\end{array}\right.$，
解得，a₁=1，q=2或q=-$\frac{2}{3}$（舍去）；
故a_n=2^n-1；
（Ⅱ）b_n=log₂a_n+1=n，
c_n=$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
要使T_n≤k（n+4）恒成立，
即k≥$\frac{n}{（n+1）（n+4）}$=$\frac{1}{n+\frac{4}{n}+5}$恒成立；
而n+$\frac{4}{n}$+5≥9，（當(dāng)且僅當(dāng)n=2時，等號成立）；
故$\frac{1}{n+\frac{4}{n}+5}$≤$\frac{1}{9}$；
故實(shí)數(shù)k的取值范圍為[$\frac{1}{9}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的應(yīng)用，同時考查了基本不等式與恒成立問題，屬于中檔題．