Question

14．設a∈R，函數(shù)f（x）=|x²+ax|
（Ⅰ）若f（x）在[0，1]上單調遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）記M（a）為f（x）在[0，1]上的最大值，求M（a）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論當a=0時，當a＞0時，當a＜0時，運用單調性，判斷求解；
（Ⅱ）對a討論，分a≥0時，a＜0，再分a≤-2時，-2＜a≤2-2$\sqrt{2}$，a＞2-2$\sqrt{2}$，運用單調性，求得最大值；再由分段函數(shù)的單調性，求得最小值．

解答 解：（Ⅰ）設g（x）=x²+ax，
△=a²，x=-$\frac{a}{2}$為對稱軸，
①當a=0時，g（x）=x²，
∴|g（x）|在x∈[0，1]上單調遞增，
∴a=0符合題意；
②當a＞0時，g（0）=0，x=-$\frac{a}{2}$＜0，
∴|g（x）|在x∈[0，1]上單調遞增，
∴a＞0，符合題意；
③當a＜0時，△=a²＞0，g（0）=0，
∴|g（x）|在x∈[0，-$\frac{a}{2}$]上單調遞增，
即只需滿足1≤-$\frac{a}{2}$，即有a≤-2；
∴a≤-2，符合題意．
綜上，a≥0或a≤-2；
（Ⅱ）若a≥0時，f（x）=x²+ax，對稱軸為x=-$\frac{a}{2}$，
f（x）在[0，1]遞增，可得M（a）=1+a；
若a＜0，則f（x）在[0，-$\frac{a}{2}$]遞增，在（-$\frac{a}{2}$，-a）遞減，在（-a，+∞）遞增，
若1≤-$\frac{a}{2}$，即a≤-2時，f（x）在[0，1]遞增，可得M（a）=-a-1；
若-$\frac{a}{2}$＜1≤-$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$a，即-2＜a≤2-2$\sqrt{2}$，可得f（x）的最大值為M（a）=$\frac{{a}^{2}}{4}$；
若1＞-$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$a，即a＞2-2$\sqrt{2}$，可得f（x）的最大值為M（a）=1+a．
即有M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{1+a，a＞2-2\sqrt{2}}\\{-a-1，a≤-2}\\{\frac{{a}^{2}}{4}，-2＜a≤2-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$；
當a＞2-2$\sqrt{2}$時，M（a）＞3-2$\sqrt{2}$；
當a≤-2時，M（a）≥1；
當-2＜a≤2-2$\sqrt{2}$，可得M（a）≥$\frac{1}{4}$（2-2$\sqrt{2}$）²=3-2$\sqrt{2}$．
綜上可得M（a）的最小值為3-2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了含絕對值函數(shù)的單調性和最值的求法，考查分類討論的思想方法，以及不等式的解法，屬于綜合題，有一定的難度．