Question

17．已知f（x）=xlnx-ax，g（x）=x³-x+6，若對任意的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，則實數a的取值范圍為[-2，+∞）．

Answer 1

分析 求出g（x）的導數，原不等式即為對任意的x∈（0，+∞），2x（lnx-a）≤3x²+1恒成立，即有a≥lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，
令h（x）=lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，x＞0，求出h（x）的導數，求得單調區(qū)間，得到極大值也為最大值，即可得到a的范圍．

解答 解：g（x）=x³-x+6的導數為g′（x）=3x²-1，
對任意的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，
即為對任意的x∈（0，+∞），2x（lnx-a）≤3x²+1恒成立，
即有a≥lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，
令h（x）=lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，x＞0，
h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$=-$\frac{（3x+1）（x-1）}{2{x}^{2}}$，
當0＜x＜1時，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）遞增；
當x＞1時，h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）遞減．
則有x=1處，h（x）取得極大值，也為最大值，且為-2，
則有a≥-2．
故答案為：[-2，+∞）．

點評 本題考查不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題，注意運用參數分離，以及運用導數求最值，屬于中檔題．