Question

8．已知函數(shù)f（x）=ax-$\frac{a}{x}$-2lnx的圖象在x=1處的切線的斜率為0．
（1）求a的值；
（2）若a₁=4，a_n+1=f′（$\frac{1}{{a}_{n}-n+1}$）-n²+1（n∈N^*），求證：a_n≥2n+2．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由已知解方程即可得到a=1；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，先由題意求得f′（$\frac{1}{{a}_{n}-n+1}$），再由對于關(guān)于自然數(shù)n的命題：
a_n+1=f′（$\frac{1}{{a}_{n}-n+1}$）-n²+1，常用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答 （1）解：函數(shù)f（x）=ax-$\frac{a}{x}$-2lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=a+$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$，
則在x=1處的切線的斜率為2a-2=0，
解得a=1；
（2）證明：f（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx，
所以f′（x）=1-$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$-1）²，
于是a_n+1=f′（$\frac{1}{{a}_{n}-n+1}$）-n²+1=（a_n-n）²-n²+1
=a_n²-2na_n+1．
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=4=2×1+2，
當(dāng)n=2時(shí)，a₂=9＞2×2+2，成立；
假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2且k∈N^*）時(shí)，不等式a_k＞2k+2成立，即a_k-2k＞2成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=a_k（a_k-2k）+1＞（2k+2）×2+1=4k+5＞2（k+1）+2，
所以當(dāng)n=k+1，不等式也成立，
綜上得對所有n∈N^*時(shí)，都有a_n≥2n+2．

點(diǎn)評 本題主要考查用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的基本形式：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若：1°P（n₀）成立（奠基）；2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立．