Question

（本題滿分14分）
已知數(shù)列滿足
（Ⅰ）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項以及前n項和；
（Ⅲ）如果對任意的正整數(shù)都有求的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ），（Ⅲ）

解析試題分析：（Ⅰ）證明：由得
 
所以數(shù)列為等比數(shù)列且首項為2，公比為2.                                    …4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得= 所以
利用分組求和可得：                                …9分
（Ⅲ）由，得 （10分）
令
則 
當(dāng)時,當(dāng)時
綜合，得：當(dāng)時，),即時，,
所以為單調(diào)遞增數(shù)列，故，即所求的取值范圍是 .           …14分
考點：本小題主要考查等比數(shù)列的證明、構(gòu)造新數(shù)列、用函數(shù)的觀點考查數(shù)列的單調(diào)性、恒成立問題求參數(shù)的值以及數(shù)列中的基本計算問題，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
點評：要證明等差或等比數(shù)列，只能用定義或等差、等比數(shù)列的中項，恒成立問題一般轉(zhuǎn)化為求最值問題解決，而數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，可以用函數(shù)的觀點考查數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)而求最值.