Question

1．在銳角△ABC中，邊a、b是方程x²-2$\sqrt{3}$x+2=0的兩根，A、B滿足2sin（A+B）-$\sqrt{3}$=0，解答下列問題：
（1）求角C的度數(shù)；
（2）求邊c的長度；
（3）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意得sin（A+B）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，結(jié)合△ABC是銳角三角形，由特殊角的三角函數(shù)值即可得解．
（2）由題意可得a+b=2$\sqrt{3}$，ab=2，進而利用余弦定理可得c的值．
（3）利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（1）由題意，得sin（A+B）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因△ABC是銳角三角形，
故A+B=120°，C=60°；
（2）由a、b是方程x²-2$\sqrt{3}$x+2=0的兩根，
解得：a+b=2$\sqrt{3}$，ab=2，
由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab=12-6=6，故c=$\sqrt{6}$．
（3）故S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，誘導公式，三角形面積公式，余弦定理，韋達定理在解三角形中的綜合應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．